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计算圆周率的方法 3 Aug 2012 | 03:50 pm
如果一个圆的直径是1，它的圆周便是π \[ \pi =16arctan \frac{1}{5}-4arctan \frac{1}{239} \] 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 \[ \...
n阶导数 5 Jun 2012 | 12:07 pm
Faà di Bruno’s formula 设函数f和g都n阶可导有： \[\frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}\] 当 \(r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m \)和...
指数和对数函数的导数 5 Jun 2012 | 12:02 pm
\[\left(c^{ax}\right)' = {c^{ax} \ln c \cdot a } ,\qquad c > 0\] note that the equation above is true for all c, but the derivative for c 0, c \ne 1\] the equation above is also true for all c but y...
幂法则 5 Jun 2012 | 10:57 am
在数学中，幂法则是最重要的微积分公式之一，原因是无论是线性还是多项式的微积分都用到它。 \[ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} , \qquad n \neq 0.\] 此导数的幂法则不适用于 \(x^0\)。因\(n＝0\)时，上式右边为 \(0\) 或\( 0 \cdot x^{-1}\) 此式 \(x=0\)时无定义. 幂法则的反函数可推导出除了\(x^{-1} ...
反函数及其导数 4 Jun 2012 | 05:17 pm
在数学里，反函数为对一给定函数做逆运算的函数。更正式些地说，若f为一定义域为X的函数，则\(f^{−1}\)为其反函数当且仅当对每一\(x \in X\)，都会有： \[f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x.\, \] 函数\(f\) 的反函数是 \(f^{-1}\). 即 \(y = f(x)\) 和 \(x = f ^−1(y)\) 关系 假设他们的导数均存在，用莱布尼...
复合函数求导法则 4 Jun 2012 | 04:43 pm
链式法则（chain rule），是求复合函数导数的一个法则。设\(f\) 和\(g\) 为两个关于\(x\) 可导函数，则复合函数 \((f \circ g)(x)\)的导数\( (f \circ g)’(x)\)为： \[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x). \] 证明： 设f和g为函数，x为常数，使得f在g(x)可导，且g在x可导。根据可导的定义， ...
导数除法法则 4 Jun 2012 | 04:05 pm
若已知两个连续函数\(f,g\)及其导数\(f’,g’，\)则它们的商 \[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\] 的导数为: \[\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}. \] 证明： 从牛顿差商推出 设\(f(x) = g(x)/h(x)，h(x)≠ 0，\)且\(g\)和\(...
导数倒数法则 4 Jun 2012 | 03:56 pm
设有函数\(g(x)\)，则其倒数\(1\over g(x)\)的导数为 \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2} \] 证明： 设 \(f(x) = 1\)，则根据除法定则可得 \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx}...
导数乘积法则 22 May 2012 | 09:20 pm
乘积法则，也称为莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。 若已知两个连续函数\(f,g\)及其导数\(f’,g’\)，则它们的积\(fg\)的导数为： \[(fg)'=f'g+fg' \,\] 这个法则可衍生出积分的分部积分法。 这个法则是莱布尼兹发现的，以下是他的证明：设\(u(x)\)和\(v(x)\)为\(x\)的两个可导函数。那么，\(uv\)的微分是： \begin{...
常系数求导法则 21 May 2012 | 03:57 pm
设: \[g(x) = k \cdot f(x).\] 当k是常数 根据导数的定义,有: \[g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{k \cdot f(x+h) - k \cdot f(x)}{h} \\ g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{k(f(x+h) -...
